Кёнигсберг: семь мостов, которые невозможно обойти — и как это доказали навсегда

Головоломка про мосты Кёнигсберга, которая случайно родила теорию графов

Под ногами скрипят доски, снизу тянет речной сыростью, а вода в Прегеле течёт сразу на два рукава — город возвышается не на одном берегу, а на четырёх кусках суши разом. Два острова, два края суши, и между ними — семь мостов, переброшенных за два с половиной века один за другим: Лавочный ещё в тысяча двести восемьдесят шестом, Зелёный, Рабочий, Кузнечный, Деревянный, Высокий и, наконец, Медовый — в тысяча пятьсот сорок втором. К этому дню город получил полный набор переправ и вместе с ним — задачу, над которой веками ломали голову горожане на воскресной прогулке.

Правило было незатейливое и звучало как вызов трактирщика: пройти по всем мостам подряд, ни разу не повторившись, и вернуться, откуда вышел, — или хотя бы просто дойти. Одни клялись, что видели такой маршрут своими глазами. Другие говорили: ищи получше, раз не находится, значит, ты просто не сообразил, в какую сторону свернуть у ратуши. Казалось, дело в удаче и в паре верных шагов — достаточно пройти город ещё раз повнимательнее, и заветная тропа отыщется сама.

А что если она не находится не потому, что её плохо искали, а потому что искать больше не выйдет ничего? Задачу подкинули петербургскому академику родом из Швейцарии — Леонарду Эйлеру. Тот сначала отмахнулся: дело как будто не про числа и не про фигуры, а значит, не про математику вовсе. Но в письме венецианцу Джованни Якопо Маринони в марте тысяча семьсот тридцать шестого он признался, что задача его зацепила, и всего через несколько недель разобрал её до конца — приятелю Карлу Готлибу Элеру он писал об этом в апреле того же года.

Эйлер поступил хитро: ему было всё равно, каким путём идти внутри одной суши или острова — важно было только, через какой мост ты на него зашёл и через какой вышел. Он свёл город к четырём точкам и семи линиям между ними и заметил простую вещь: чтобы пройти и выйти из точки, к ней должно подходить чётное число линий — одна на вход, одна на выход, и так по кругу, кроме, может быть, начала и конца пути. А в Кёнигсберге у каждого из четырёх кусков суши было нечётное число мостов: к одному вело пять переправ, к трём другим — по три. Не два нечётных места, как допускает правило, а все четыре сразу. Маршрут был обречён заранее, вне зависимости от того, с какой улицы горожанин выходил утром из своего здания.

Доклад Эйлер прочёл в Петербургской академии ещё осенью тысяча семьсот тридцать пятого, а напечатал его только в тысяча семьсот сорок первом под названием «Решение задачи, относящейся к геометрии положения». Слова «граф» там ещё не было — Эйлер работал без привычных нам точек и линий на бумаге, — но метод угадал будущее на два века вперёд: сегодня те же рассуждения о том, куда ведёт нечётное число дорог, лежат в основе навигаторов, доставки и разводки проводов на плате.

Городу мосты служили ещё два века. А затем настала война, и с ней — бомбёжки: сначала советская авиация в тысяча девятьсот сорок первом, следом британская — в тысяча девятьсот сорок четвёртом, и от прежнего Кёнигсберга осталась едва ли пятая часть построек. Из семи мостов уцелели трое: Медовый, ведущий к острову Канта, Деревянный и Высокий, — да и Высокий на самом деле переложили заново ещё в тысяча девятьсот тридцать пятом, до всякой войны. Остальные не пережили обстрелов или позже уступили место шоссе.

Кажется, что задача просто исчезла вместе с мостами. На деле она стала другой — и на этот раз решаемой. Когда мостов осталось меньше, а нечётных точек — только две вместо четырёх, обойти оставшиеся переправы по разу всё-таки можно: нужно выйти с одного острова и закончить на другом берегу, не возвращаясь туда, откуда стартовал. Ирония в том, что решить головоломку город смог не благодаря удаче гуляющих, а благодаря войне, которая забрала у него половину мостов.

Сегодня туристы в Калининграде честно пытаются повторить старый маршрут — по новым, изменившимся правилам, которые город получил случайно. А задача, которую задавали себе горожане за кружкой пива у Прегеля, так и осталась в учебниках первым шагом целой области математики — просто потому, что один приезжий академик отказался поверить, будто дело только в везении.

Мы собираем истории по источникам и показываем их под текстом. Проверьте нас: мой-гид точка онлайн.